问：设是群,定义G内*的运算如下：a,b∈G,a*b=b#a,证明是群,顺便问下3和元素的集合有几个划分?

Question

问：设是群,定义G内*的运算如下：a,b∈G,a*b=b#a,证明是群,顺便问下3和元素的集合有几个划分?

Answer 1

因为是群,故*在G上封闭、可结合、有幺元e、每个元素有逆元.
对任意a,b,c∈G
1、封闭性
因为 a#b=b*a∈G,故#在G上是封闭的；
2、可结合性
因为(a#b)#c=c*(a#b)=c*(b*a)=(c*b)*a=a#(c*b)=a#(b#c),故#在G上可结合；
3、幺元
因为 a#e=e*a=a=a*e=e#a,故中幺元e也是中的幺元；
4、逆元 ◆逆元中的-1为上标形式,这里无法显示.◆
令a (-1)为a在中的逆元,因为
a#a (-1)=a (-1)*a=e=a*a (-1)=a (-1)#a
故a (-1)也为a在中的逆元.
由1、2、3、4可知是群.
另外：3个元素的集合有5种不同的划分.