已知抛物线y2=2px（p>0），过点Q（4，0）作动直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若对点P（t，0），恒有∠APQ=∠BPQ，求实数t的值及△PAB面

Question

已知抛物线y²=2px（p>0），过点Q（4，0）作动直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若对点P（t，0），恒有∠APQ=∠BPQ，求实数t的值及△PAB面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，
代入抛物线方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=((y1y2)2)/(4p2)+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
∴2p=4，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵∠APQ=∠BPQ，
∴k_PA=-k_PB，
∴(y1)/(x1-t)=-(y2)/(x2-t)
∴x₂y₁-ty₁=-x₁y₂+ty₂，
∴x₂y₁+x₁y₂=t（y₁+y₂），
∴(1)/(4)y₁y₂（y₁+y₂）=t（y₁+y₂），
∴4t=y₁y₂，
∴4t=-16，
∴t=-4
由（Ⅰ）有y₁y₂=-16，y₁+y₂=4m，∴|y₁-y₂|=√(16m2+64)
∴S_△PAB=(1)/(2)|y₁-y₂|×8=4√(16m2+64)
∴m=0时，△PAB面积的最小值为32．