如图所示,在直角坐标系中,圆P经过原点O,且与X轴Y轴分别相交于A（-6,0）.B（0,-8（1）求直线AB的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B点,他的对称轴平行于Y轴且经过点P,顶点C在圆P上,求

Question

如图所示,在直角坐标系中,圆P经过原点O,且与X轴Y轴分别相交于A（-6,0）.B（0,-8
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）有一开口向下的抛物线过B点,他的对称轴平行于Y轴且经过点P,顶点C在圆P上,求该抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交于X轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S三角形QDE=15分之一S三角形ABC?若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由

Answer 1

1.由于B(0,-8)在y轴上,故直线AB的纵截距为-8,可设其方程为：y=kx-8
将A（-6,0）的坐标代入,可求得k=-4/3
故,直线AB的函数表示为:y=-4x/3 -8

2.由于O,A,B三点均在圆P上,故,∠AOB为圆P的圆心角,而A,B分别位于x,y轴上,∴∠AOB=90°
根据“直径所对的圆心角为90°”的逆命题,可得出AB为圆P直径的结论
因此,圆P的圆心P必在直线AB上,且是其中点
由坐标的中点公式,即,中点坐标的横（纵）坐标是其两个端点横（纵）坐标的和的一半,可得到圆心P的坐标为：
xp=(xA + xB)/2=(-6+0)/2=-3
yp=(xB + yB)/2=[0+（-8）]/2=-4
圆心P点坐标（-3,-4）
而AB的长度可由两点距离公式求出：
AB=√[(xA-xB)^+(yA-yB)^]=√[(-6-0)^+(-8-0)^]=10
AB为直径,故,圆P的半径为5
∴圆P的方程为：
(x+3)^+(y+4)^=5^=25

由于抛物线的对称轴平行于y轴,且过点P,故,其对称轴为x=-3,此值亦为抛物线顶点的横坐标；
而顶点C在圆P上,只要令x=-3,代入圆的方程求出y,即可得到此C点的纵坐标,为：
(-3+3)^+(y+4)^=25
y=1或者-9
由于抛物线过B（0,-8）,且开口向下,结合图像很容易得出顶点C的纵坐标不可能小于-8,因此y=-9舍去,得到真正的顶点纵坐标为y=1
于是,抛物线的顶点为C(-3,1)

再由抛物线过B(0,-8),说明抛物线的纵截距为-8,这样,设抛物线的顶点式方程为：y=a(x+3)^+1
令x=0,则可得到纵截距为y=9a+1,于是有9a+1=-8
a=-1
于是,抛物线的方程为：
y=-(x+3)^+1 =-x^-6x -8

3.先求△ABC的面积
由于A,B,C三点均在圆P上,AB为直径,故∠ACB=90°,于是：
S△ABC=(AC*BC)/2
①
只要求出AC,BC的长即可：
由两点坐标公式,分别联立A(-6,0),B(0,-8),C(-3,1)的坐标,可以得到：
AC=√10
BC=3√10
将两值代入①式,求出：
S△ABC=15

于是,由已知条件：
S△QDE=15*(1/15)=1
而,DE分别为抛物线y=-x^-6x-8与x轴的两个交点,设D点在E点左侧,则通过令
y=0,可求出此两点坐标为:D(-4,0),E(-2,0)
于是可得：DE=2
设Q点的纵坐标为h,则其绝对值|h|一定为△QDE中,边DE上的高,于是有：
S△QDE=(DE*|h|)/2
分别代入S△QDE=1,DE=2
可得出：
|h|=1
于是,h=1或者-1
显然,h=1的情况恰好对应抛物线上顶点C的纵坐标,于是此时C点与Q点重合,Q点坐标为(-3,1);
当h=-1时,将这个存在于抛物线上的Q点的纵坐标,带入到抛物线解析式y=-x^-6x-8,可得到两个相应的横坐标值为：-3+√2,-3-√2
于是,此时存在两个符合题意的Q点,分别为：(-3+√2 , -1) 和 （-3-√2 ,-1）

满足题意的Q点坐标一共有3个：
(-3,1) (-3+√2 ,-1) (-3-√2 ,-1)