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已知抛物线p y=2x,直线l与抛物线p 交于两点m n.若向量om乘向量on=-1恒成立,则直线l必过点?
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已知抛物线p y=2x,直线l与抛物线p 交于两点m n.若向量om乘向量on=-1恒成立,则直线l必过点?
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答案和解析
设直线为x=ky+b 代入y=2x整理得 y-2ky-2b=0 ∴y1+y2=2k,y1y2=-2b x1=ky1+b,x2=ky2+b 向量OM*向量ON=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+b)(ky2+b)+y1y2=(k+1)y1y2+kb(y1+y2)+b =(k+1)(-2b)+kb(2k)+b=b-2b=-1 ∴b-2b+1=(b-1)=0,b=1 ∴直线为 x=ky+1,令y=0则x=1,即l必然过点(1,0)
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