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(2014•郑州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上有一点Q(2,y0)到焦点F的距离为52.(Ⅰ)求p及y0的值;(Ⅱ)如图,设直线y=kx+b与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=2,过
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(Ⅰ)求p及y0的值;
(Ⅱ)如图,设直线y=kx+b与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=2,过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D,连接AD,BD.试判断△ABD的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(I)由抛物线C:y2=2px(p>0),可得焦点(
,0),
∵抛物线上的点Q(2,y0)到焦点F的距离为
.
∴2+
=
,p=1.
∴y2=2x,
把Q(2,y0)代入抛物线方程,解得y0=±2.
(II)联立
,得:k2x2+2(kb-1)x+b2=0(k≠0),△>0,即1-2kb>0,
x1+x2=
,x1x2=
.
|y1−y2|2=k2|x1−x2|2=k2[(x1+x2)2−4x1x2]=
=4,
∴1-2kb=k2,
M(
,
),D(
,
),
∴△ABC的面积S=
|MD|•|y1−y2|=
×|
|×2=
.
p |
2 |
∵抛物线上的点Q(2,y0)到焦点F的距离为
5 |
2 |
∴2+
p |
2 |
5 |
2 |
∴y2=2x,
把Q(2,y0)代入抛物线方程,解得y0=±2.
(II)联立
|
x1+x2=
2(1−kb) |
k2 |
b2 |
k2 |
|y1−y2|2=k2|x1−x2|2=k2[(x1+x2)2−4x1x2]=
4(1−2kb) |
k2 |
∴1-2kb=k2,
M(
1−kb |
k2 |
1 |
k |
1 |
2k2 |
1 |
k |
∴△ABC的面积S=
1 |
2 |
1 |
2 |
1−2kb |
2k2 |
1 |
2 |
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