（2014•郑州模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为52．（Ⅰ）求p及y0的值；（Ⅱ）如图，设直线y=kx+b与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=2，过

Question

（2014•郑州模拟）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上有一点Q（2，y₀）到焦点F的距离为(5)/(2)．
（Ⅰ）求p及y₀的值；
（Ⅱ）如图，设直线y=kx+b与抛物线交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=2，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D，连接AD，BD．试判断△ABD的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．

Answer 1

（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点((p)/(2)，0)，
∵抛物线上的点Q（2，y₀）到焦点F的距离为(5)/(2)．
∴2+(p)/(2)＝(5)/(2)，p=1．
∴y²=2x，
把Q（2，y₀）代入抛物线方程，解得y₀=±2．
（II）联立

y＝kx+b

y2＝2x

，得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x1+x2＝(2(1−kb))/(k2)，x1x2＝(b2)/(k2)．
|y1−y2|2＝k2|x1−x2|2＝k2[(x1+x2)2−4x1x2]=(4(1−2kb))/(k2)＝4，
∴1-2kb=k²，
M((1−kb)/(k2)，(1)/(k))，D((1)/(2k2)，(1)/(k))，
∴△ABC的面积S＝(1)/(2)|MD|•|y1−y2|＝(1)/(2)×|(1−2kb)/(2k2)|×2＝(1)/(2)．