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(2014•梅州)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30.D是AC上的动点,过D作DF⊥BC于F,过F作FE∥AC,交AB于E.设CD=x,DF=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)当四边形AEFD为菱形时,求x的值;

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(2014•梅州)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30.D是AC上的动点,过D作DF⊥BC于F,过F作FE∥AC,交AB于E.设CD=x,DF=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当四边形AEFD为菱形时,求x的值;
(3)当△DEF是直角三角形时,求x的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30,
∴∠C=30°,
∵CD=x,DF=y.
∴y=
1
2
x;

(2)∵四边形AEFD为菱形,
∴AD=DF,
∴y=60-x
∴方程组
y=
1
2
x
y=60−x

解得x=40,
∴当x=40时,四边形AEFD为菱形;

(3)当∠EDF=90°时,
∵△DEF是直角三角形,
∴∠FDE=90°,
∵FE∥AC,
∴∠EFB=∠C=30°,
∵DF⊥BC,
∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE,
∴∠DEF=∠EFB=30°,
∴EF=2DF,
∴60-x=2y,
与y=
1
2
x,组成方程组,得
2y=60−x
y=
1
2
x

解得x=30;
当∠DEF=90°时,
∵EF∥AC,
∴∠EDA=∠DEF=90°,
∴当△ADE∽△ABC时,△DEF是直角三角形,
AD
AB
=
AE
AC
,即
60−x
30
=
y
60

把y=
1
2
x代入得,x=48,
∴当△DEF是直角三角形时,x=48或30.
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