（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；

Question

（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴∠C=30°，
∵CD=x，DF=y．
∴y=(1)/(2)x；

（2）∵四边形AEFD为菱形，
∴AD=DF，
∴y=60-x
∴方程组

y＝(1)/(2)x

y＝60−x

，
解得x=40，
∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；

（3）当∠EDF=90°时，
∵△DEF是直角三角形，
∴∠FDE=90°，
∵FE∥AC，
∴∠EFB=∠C=30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，
∴∠DEF=∠EFB=30°，
∴EF=2DF，
∴60-x=2y，
与y=(1)/(2)x，组成方程组，得

2y＝60−x

y＝(1)/(2)x

解得x=30；
当∠DEF=90°时，
∵EF∥AC，
∴∠EDA=∠DEF=90°，
∴当△ADE∽△ABC时，△DEF是直角三角形，
∴(AD)/(AB)=(AE)/(AC)，即(60−x)/(30)=(y)/(60)，
把y=(1)/(2)x代入得，x=48，
∴当△DEF是直角三角形时，x=48或30．