（2014•黄冈模拟）已知函数f（x）=x2+2x，g（x）=xex．（Ⅰ）求f（x）-g（x）的极值；（Ⅱ）当x∈（-2，0）时，f（x）+1≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Question

（2014•黄冈模拟）已知函数f（x）=x²+2x，g（x）=xe^x．
（Ⅰ）求f（x）-g（x）的极值；
（Ⅱ）当x∈（-2，0）时，f（x）+1≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）令h（x）=f（x）-g（x），则h'（x）=（x+1）（2-e^x）…（2分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
h'（x）	-	0（-∞，-ln2）	+	0	-
h（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

…（5分）
∴h(x)极小值＝h(−1)＝(1)/(e)−1，
∴h(x)极大值＝h(ln2)＝ln22．…（7分）
（ II）由已知，当x∈（-2，0）时，x²+2x+1≥axe^x恒成立
即a≥(x2+2x+1)/(xex)＝(x+2+x−1)/(ex)恒成立，…（9分）
令t(x)＝(x+2+x−1)/(ex)，则t′(x)＝−((x2+1)(x+1))/(x2ex)…（12分）
∴当x∈（-2，-1）时，t'（x）＞0，t（x）单调递增
当x∈（-1，0）时，t'（x）＜0，t（x）单调递减
故当x∈（-2，0）时，t（x）_max=t（-1）=0∴a≥0…（15分）