x+y）^2/[1+（x-y）^2]的二重积分积分区间D是|x|+|y|〈=1是二重积分得化成累次积分，但我不太会求

Question

x+y）^2/[1+（x-y）^2]的二重积分 积分区间D是|x|+|y|〈=1
是二重积分 得化成累次积分，但我不太会求

Answer 1

积分区间D是|x|+|y|〈=1
积分区间是一个菱形,菱形的4条边的直线方程分别为,
y = 1 - x,[1象限]
y = 1 + x,[2象限]
y = -x - 1,[3象限]
y = x - 1.[4象限]
直接算的话,
积分限,
x:-1 -> 0时,y:-x -1 -> 1 + x [y从3象限到2象限].
x:0 -> 1时,y:x - 1 -> 1 - x [y从4象限到1象限].
就换成累次积分了.
简便方法的话,
用变量代换,
u = x + y,v = y - x,
u:-1 -> 1,
v:-1 -> 1.
J = Det[ 1,1; -1,1] = 2.
原二重积分 = S_{-1}^{1}du S_{-1}^{1}[u^2/(1 + v^2)]2dv
= 2S_{-1}^{1}[u^2]du S_{-1}^{1}[1/(1 + v^2)]dv
= 8S_{0}^{1}[u^2]du S_{0}^{1}[1/(1 + v^2)]dv
= 8/3*PI/4
= 2PI/3