关于积分中值定理从a到b积分,∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,（积分的上下限都是a到b)这两种用积分中值定理哪种对啊,我觉得是第一种,但是刚才做题发现答案是第二种的做法,请说明是

Question

关于积分中值定理
从a到b积分,∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,（积分的上下限都是a到b)
这两种用积分中值定理哪种对啊,我觉得是第一种,但是刚才做题发现答案是第二种的做法,请说明是为什么?
你的意思是上面两种都是对的?

Answer 1

当a,b同号,两种都是对的,∫f(x)g(x)dx=f(ε)∫g(x)dx,只要g(x)不变号（积分域内）
而第一种情况是g(x)=1显然成立
第二种情况是g(x)=x,当a,b同号时也成立
但a,b异号时第二种不成立