帮解一道高数题在曲线y=e^-x(x≥0)上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大,求该面积.

Question

帮解一道高数题
在曲线y=e^-x(x≥0)上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大,求该面积.

Answer 1

设该点为（x0,e^(-x0)）
该点的切线斜率为y`=-e^(-x0)
则该直线方程为y=-e^(-x0)(x-x0)+e^(-x0)
=-e^(-x0)x+(x0+1)e^(-x0)
则该直线交坐标轴与点
（0,（x0+1)e^(-x0)）,
（（x0+1）,0）
则,围成的面积为
S=1/2*（x0+1)e^(-x0)*(x0+1)
=1/2(x0+1)^2e^(-x0) （x>=0)
要求最大值
当x=0时,S=1/2
S`=1/2*2(x0+1)e^(-x0)-1/2(x0+1)^2e^(-x0)
=1/2e^(-x0)[2(x0+1)-(x0+1)^2]
=1/2e^(-x0)[-x0^2+1]
要S`=0,x=1或x=-1,
则x取值1
s``=1/2[-e^(-x0)][-x0^2+1]+1/2[e^(-x0)][-2x0]=1/2[e^(-x0)][x0^2-x0-1]
S``(x=1)