（2014•绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足BC=FC，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=3，AE=3，求AF

Question

（2014•绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足

BC

=

FC

，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA=√(3)，AE=3，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵

BC

=

FC

，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵tan∠CBA=√(3)，
∴∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2√(3)，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=(1)/(2)AB，
在Rt△ACB中，AC=2√(3)，tan∠CBA=√(3)，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．