设函数S（x）=∫x0|cost|dt，（1）当n为正整数，且nπ≤x＜（n+1）π时，证明：2n≤S（x）＜2（n+1）；（2）求limx→∞S(x)x．

Question

设函数S（x）=

∫

x 0

|cost|dt，
（1）当n为正整数，且nπ≤x＜（n+1）π时，证明：2n≤S（x）＜2（n+1）；
（2）求

lim

x→∞

(S(x))/(x)．

Answer 1

（1）证明：因为|cost|≥0
所以：当nπ≤x＜（n+1）π时，有

∫

nπ 0

|cost|dt≤

∫

x 0

|cost|dt＜

∫

(n+1)π 0

|cost|dt
又因为：cost为周期2π的周期函数；
易知：|cost|是周期为π的周期函数．
因为周期函数在任意一个周期内的积分相等，即：

∫

π 0

|cost|dt=

∫

x+π x

|cost|dt
根据积分的可加性有：

∫

nπ 0

|cost|dt=n

∫

π 0

|cost|dt
=n

∫	(π)/(2) −(π)/(2)

|cost|dt
=n

∫	(π)/(2) −(π)/(2)

costdt
=nsint

|	(π)/(2) −(π)/(2)

=2n．
所以有：

∫

(n+1)π 0

|cost|dt=2（n+1）
所以有：2n≤

∫

x 0

|cost|dt＜2（n+1）
即：2n≤S（x）＜2（n+1）
命题得证．
（2）根据（1）有：2n≤S（x）＜2（n+1）
n为正整数，且nπ≤x＜（n+1）π时，有：
(2n)/(x)＜(S(x))/(x)＜(2(n+1))/(x)
显然有：(2n)/((n+1)π)＜(2n)/(x)＜(S(x))/(x)＜(2(n+1))/(x)＜(2(n+1))/(nπ)
当x→∞，即n→∞时：

lim

n→∞

(2n)/((n+1)π)=(2)/(π)

lim

n→∞

(2(n+1))/(nπ)=(2)/(π)
根据夹逼定理有：

lim

x→∞

(S(x))/(x)=(2)/(π)．
故所求函数值为：(2)/(π)．