函数f（x）在[0，+∞）上可导f（0）=1，且满足等式f′（x）+f（x）-1x+1∫x0f(t)dt=0．（1）求导数f′（x）；（2）证明：当x≥0时，成立不等式：e-x≤f（x）≤1．

Question

函数f（x）在[0，+∞）上可导f（0）=1，且满足等式f′（x）+f（x）-(1)/(x+1)

∫

x 0

f(t)dt=0．
（1）求导数f′（x）；
（2）证明：当x≥0时，成立不等式：e^-x≤f（x）≤1．

Answer 1

（1）在x∈[0，+∞）上，e^x≥1＞0，x+1≥1＞0
由等式f′（x）+f（x）-(1)/(x+1)

∫

x 0

f(t)dt=0，可得：
(x+1)exf′(x)+(x+1)exf(x)−ex

∫

x 0

f(t)dt＝0
(x+1)exf′(x)+(x+2)exf(x)−[exf(x)+ex

∫

x 0

f(t)dt]＝0
即：[(x+1)exf(x)]′−[ex

∫

x 0

f(t)dt]′＝0
即[(x+1)exf(x)−ex

∫

x 0

f(t)dt]′＝0
所以，(x+1)exf(x)−ex

∫

x 0

f(t)dt＝c，c为任意常数
(x+1)f(x)−

∫

x 0

f(t)dt＝ce−x
对上式两边求导可得：f（x）+（x+1）f'（x）-f（x）=Ce^-x，C=-c为任意常数
（x+1）f'（x）=Ce^-x
f′(x)＝(Ce−x)/(x+1)
由f（0）=1，且满足等式f′（x）+f（x）-(1)/(x+1)

∫

x 0

f(t)dt=0．
可知f'（0）+f（0）-0=0，即f'（0）=-f（0）=-1
所以，C=-1，
因此，f′(x)＝(Ce−x)/(x+1)=−(e−x)/(x+1)
（2）当x≥0时，f′(x)＝(Ce−x)/(x+1)=−(e−x)/(x+1)＜0，即f（x）在[0，+∞）单调递减，
所以，f（x）≤f（0）=1
令g（x）=f（x）-e^-x，则g′(x)＝f′(x)+e−x＝(x)/(x+1)e−x≥0，g（0）=f（0）-1=0
所以，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥e^-x
综上所述，当x≥0时，不等式e^-x≤f（x）≤1成立．