设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f^'(x)≠0.试证存在ξ，η∈(a,b)，使得(f^'(ξ))/(f^'(η))=(e^b-e^a)/(b-a)e^η.

Question

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f^' (x)≠0.试证存在ξ，η∈(a,b)，使得
(f^' (ξ))/(f^' (η))=(e^b-e^a)/(b-a) e^η.

Answer 1

先用拉格朗日中值定理，有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
再用柯西中值定理，有( f(b)-f(a) )/(e^b-e^a) = f'(η)/e^η
放一起就有了