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证明lnx小于x(x大于0)恒成立
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证明lnx小于x(x大于0)恒成立
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答案和解析
令 f(x)=lnx-x
∵f'(x)=1/x-1=（1-x)/x
∴当 x=1时,f(x)有极值 f(1)=-1
当 0＜x＜1 时,f'(x)＞0,
∴f(x)在（0,1）内 单调递增
当1＜x＜+∞ 时,f'(x)＜0
∴f(x)在（1,+∞）内单调递减
由此可见,f(1)=-1 是f(x)在（0,+∞）区间内的最大值
∴对于x∈(0,+∞) ,f(x)≤f(1)=-1＜0
即 lnx-x＜0
∴lnx＜x ,x∈(0,+∞)
∵f'(x)=1/x-1=（1-x)/x
∴当 x=1时,f(x)有极值 f(1)=-1
当 0＜x＜1 时,f'(x)＞0,
∴f(x)在（0,1）内 单调递增
当1＜x＜+∞ 时,f'(x)＜0
∴f(x)在（1,+∞）内单调递减
由此可见,f(1)=-1 是f(x)在（0,+∞）区间内的最大值
∴对于x∈(0,+∞) ,f(x)≤f(1)=-1＜0
即 lnx-x＜0
∴lnx＜x ,x∈(0,+∞)
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