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已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都
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已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<
+2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<
a |
1-n |
▼优质解答
答案和解析
(本题满分为14分)
(Ⅰ)由f(x)=nx-xn,可得f′(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中n∈N•,且n≥2.
下面分两种情况讨论:
(1)当n为奇数时,令f′(x)=0,解得x=1,或x=-1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以,f(x)在 (-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)单调递增.
(2)当n为偶数时,
当 f′(x)>0,即x<1时,函数 f(x)单调递增;
当 f′(x)<0,即x>1时,函数 f(x)单调递减;
所以,f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(Ⅱ)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=n
,f′(x0)=n-n2,
曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0),
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则F′(x)=f′(x)-f′(x0).
由于f′(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减,
又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
所以对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,
即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).
(Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2,
由(Ⅱ)知g(x)=(n-n2)(x-x0),
设方程g(x)=a的根为
,可得
=
+x0,
由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(
),可得x2≤
.
类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),
可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)-h(x)=-xn<0,
即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x),
设方程h(x)=a的根为
,可得
=
,
因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(
)=a=f(x1)<h(x1),
因此
<x1,
由此可得:x2-x1<
-
=
+x0,
因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+
=1+n-1=n,
故:2≥n
=x0.
所以:|x2-x1|<
(Ⅰ)由f(x)=nx-xn,可得f′(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中n∈N•,且n≥2.
下面分两种情况讨论:
(1)当n为奇数时,令f′(x)=0,解得x=1,或x=-1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-1) | (-1,1) | (1,+∞) |
f′(x) | - | + | - |
f(x) | ![]() | ![]() | ![]() |
(2)当n为偶数时,
当 f′(x)>0,即x<1时,函数 f(x)单调递增;
当 f′(x)<0,即x>1时,函数 f(x)单调递减;
所以,f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(Ⅱ)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=n
1 |
n-1 |
曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0),
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则F′(x)=f′(x)-f′(x0).
由于f′(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减,
又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
所以对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,
即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).
(Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2,
由(Ⅱ)知g(x)=(n-n2)(x-x0),
设方程g(x)=a的根为
x | ′ 2 |
x | ′ 2 |
a |
n-n2 |
由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(
x | ′ 2 |
x | ′ 2 |
类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),
可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)-h(x)=-xn<0,
即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x),
设方程h(x)=a的根为
x | ′ 1 |
x | ′ 1 |
a |
n |
因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(
x | ′ 1 |
因此
x | ′ 1 |
由此可得:x2-x1<
x | ′ 2 |
x | ′ 1 |
a |
1-n |
因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+
C | 1 n-1 |
故:2≥n
1 |
n-1 |
所以:|x2-x1|<
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