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已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都

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已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N,且n≥2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<
a
1-n
+2.
▼优质解答
答案和解析
(本题满分为14分)
(Ⅰ)由f(x)=nx-xn,可得f′(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中n∈N,且n≥2.
下面分两种情况讨论:
(1)当n为奇数时,令f′(x)=0,解得x=1,或x=-1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
 x (-∞,-1) (-1,1) (1,+∞)
 f′(x)-+-
 f(x) 作业搜 作业搜 作业搜
所以,f(x)在 (-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)单调递增.
(2)当n为偶数时,
当 f′(x)>0,即x<1时,函数 f(x)单调递增;
当 f′(x)<0,即x>1时,函数 f(x)单调递减;
所以,f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(Ⅱ)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=n 
1
n-1
,f′(x0)=n-n2
曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0),
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则F′(x)=f′(x)-f′(x0).
由于f′(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减,
又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
所以对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,
即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).
(Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2
由(Ⅱ)知g(x)=(n-n2)(x-x0),
设方程g(x)=a的根为
x
2
,可得
x
2
=
a
n-n2
+x0,
由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(
x
2
),可得x2
x
2

类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),
可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)-h(x)=-xn<0,
即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x),
设方程h(x)=a的根为
x
1
,可得
x
1
=
a
n

因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(
x
1
)=a=f(x1)<h(x1),
因此
x
1
<x1
由此可得:x2-x1<
x
2
-
x
1
=
a
1-n
+x0,
因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+
C
1
n-1
=1+n-1=n,
故:2≥n
1
n-1
=x0
所以:|x2-x1|<