已知函数在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

Question

已知函数 在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

已知函数 在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：
（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．

（Ⅰ）∵，∴f/（x）=x2-4x+a．（2分）∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根．∴△=16-4（a+1）=0，∴a=3．（4分）∴x=2，．∴切线l：，即3x+3y-8=0．（7分）（Ⅱ）∵f/（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1．（9分）∴tanθ≥-1，（10分）∵θ∈[0，π），∴（13分）
点评：
本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．

分析：
（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．

（Ⅰ）∵，∴f/（x）=x2-4x+a．（2分）∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根．∴△=16-4（a+1）=0，∴a=3．（4分）∴x=2，．∴切线l：，即3x+3y-8=0．（7分）（Ⅱ）∵f/（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1．（9分）∴tanθ≥-1，（10分）∵θ∈[0，π），∴（13分）
点评：
本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．