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设A^3=2I,证明A+2I可逆
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设A^3=2I,证明A+2I可逆
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答案和解析
A³ = 2I
A³ + (2I)³ = 10I
(A + 2I)(A² - 2A + 4I) = 10I
(A + 2I) • (A² - 2A + 4I)/10 = (A² - 2A + 4I)/10 • (A + 2I) = I
所以A + 2I可逆
其逆矩阵(A + 2I)^-1 = (A² - 2A + 4I)/10
或
(A + 2I)(A² - 2A + 4I) = 10I
|A + 2I| • |A² - 2A + 4I| = 10
|A + 2I| ≠ 0 => A + 2I可逆
A³ + (2I)³ = 10I
(A + 2I)(A² - 2A + 4I) = 10I
(A + 2I) • (A² - 2A + 4I)/10 = (A² - 2A + 4I)/10 • (A + 2I) = I
所以A + 2I可逆
其逆矩阵(A + 2I)^-1 = (A² - 2A + 4I)/10
或
(A + 2I)(A² - 2A + 4I) = 10I
|A + 2I| • |A² - 2A + 4I| = 10
|A + 2I| ≠ 0 => A + 2I可逆
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