下面的三角函数证明题希望给出详细证明在△ABC中,若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+4abc<1/2证明设a=sin*2αcos*2β,b=cos*2αcos*2β,c=sin*2β,β∈（0,π/2）因为a,b,c为三边长,所以c|a-b|,从而β∈（0,π/4）,所

Question

下面的三角函数证明题 希望给出详细证明
在△ABC中,若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+4abc< 1/2
【证明】 设a=sin*2αcos*2β,b=cos*2αcos*2β,c=sin*2β,β∈（0,π/2）
因为a,b,c为三边长,所以c|a-b|,
从而 β∈（0,π/4） ,所以sin*2β>|cos*2α•cos*2β|.（这里我不明白）
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin*2βcos*2β+sin*2αcos*2α•cos*4β•cos2β
=（1/4)[1-cos*2 2β+(1-cos*2 2α)cos*4βcos2β]
=（1/4）+(1/4) cos2β(cos*4β-cos*2 2αcos*4β-cos2β)（从这以后包括这里都不明白）
>(1/4) +(1/4)cos2β(cos*4β-sin*4β-cos*2β)=1/4 .
所以a2+b2+c2+4abc< 1/2
其中数字与三角函数符号之间的*代表平方

Answer 1

与原证明一样,设a=sin²αcos²β, b=cos²αcos²β, c=sin²β, β∈（0,π/2）
∵a, b, c为三边长
∴a+b>c
∴c|a-b|,
∴sin²β>|sin²αcos²β-cos²αcos²β|=|cos2α•cos²β|(注意是cos2α而不是cos²α)
因为1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca),
所以a²+b²+c²+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin²βcos²β+sin²α·cos²α(cos²β)²(cos2β)
=1/4·(sin²2β)+[1/4·(sin²2α)]·(cos²β)²(cos2β)
=1/4·[(1-cos²2β)+(1-cos²2α)·(cos²β)²(cos2β)]
=1/4·[1-cos²2β+(cos²β)²(cos2β)-cos²2α·(cos²β)²(cos2β)]
=（1/4）+(1/4)cos2β[(cos²β)²-cos²2α(cos²β)²-cos2β]
>(1/4) +(1/4)cos2β[(cos²β)²-(sin²β)²-cos2β)] (这里用到①的结论)
又[(cos²β)²-(sin²β)²-cos2β)]=(cos²β-sin²β)-cos2β=0
∴(1/4) +(1/4)cos2β[(cos²β)²-(sin²β)²-cos2β)]=1/4
∴ab+bc+ca-2abc>(1/4)
∴a²+b²+c²+4abc< 1/2