怎么证明当x大于1时,e的x次方大于ex

Question

怎么证明当x大于1时,e的x次方大于ex

Answer 1

方法一：x＞1时,设f(t)＝e^t,t∈[1,x]f(t)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x),使得f'(ξ)＝(e^x-e)/(x-1)f'(t)＝e^t,所以(e^x-e)/(x-1)＝e^ξξ＞1,所以(e^x-e)/(x-1)＞e,此即e^x＞ex 方法二：设f(x)＝e^x-ex,x∈[1,+∞)f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)内可导,且f'(x)＝e^x－e＞0,所以f(x)在[1,+∞)上单调增加,所以x＞1时,f(x)＞f(1)＝0,所以e^x＞ex