设f(x)=(eX(表示e的X次方)-eˉX）/2,g(x)=（eX+eˉX）/2.求证⑴［g(x)］2-［f(x)］2=1（2为次方）⑵f(2x)=2f(x)*g(x)⑶g(2x)=［g(x)］2+［f(x)］2(2为次方）

Question

设f(x)=(eX(表示e的X次方)-eˉX）/2,g(x)=（eX+eˉX）/2.求证⑴［g(x)］2-［f(x)］2=1（2为次方）⑵f(2x)=2f(x)*g(x) ⑶g(2x)=［g(x)］2+［f(x)］2(2为次方）

Answer 1

1
g²(x)-f²(x)
=[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)]
=e^(-x)*e^x
=1
2
f(2x)=[e^2x-e^(-2x)]/2=1/2[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]=2f(x)g(x)
3
g(2x)=[e^2x+e^(-2x)]/2={[e^x+e^(-x)]/2}²+{[e^x-e^(-x)]/2}²=f²(x)+g²(x)