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求微分方程的通解和满足初始条件的特解y'+y=x的平方*e^x
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求微分方程的通解和满足初始条件的特解y'+y=x的平方*e^x
▼优质解答
答案和解析
∵y'+y=0 ==>y'=-y
==>dy/y=-dx
==>ln│y│=-x+ln│C│ (C是非零积分常数)
==>y=Ce^(-x)
∴设原方程的解为y=C(x)e^(-x) (C(x)表示关于x的函数)
代入原方程得C'(x)e^(-x)=x²e^x
==>C'(x)=x²e^(2x)
==>C(x)=∫x²e^(2x)dx=(x²/2-x/2+1/4)e^(2x)+C (C是积分常数)
==>y=[(x²/2-x/2+1/4)e^(2x)+C]e^(-x)=(x²/2-x/2+1/4)e^x+Ce^(-x)
故原方程的通解是y=(x²/2-x/2+1/4)e^x+Ce^(-x) (C是积分常数).
==>dy/y=-dx
==>ln│y│=-x+ln│C│ (C是非零积分常数)
==>y=Ce^(-x)
∴设原方程的解为y=C(x)e^(-x) (C(x)表示关于x的函数)
代入原方程得C'(x)e^(-x)=x²e^x
==>C'(x)=x²e^(2x)
==>C(x)=∫x²e^(2x)dx=(x²/2-x/2+1/4)e^(2x)+C (C是积分常数)
==>y=[(x²/2-x/2+1/4)e^(2x)+C]e^(-x)=(x²/2-x/2+1/4)e^x+Ce^(-x)
故原方程的通解是y=(x²/2-x/2+1/4)e^x+Ce^(-x) (C是积分常数).
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