自然数a,b,c,d,e,满足a+b+c+d+e=abcde求e的最大值?

Question

自然数a,b,c,d,e,满足a+b+c+d+e=abcde求e的最大值?

Answer 1

由于e最大,不妨设a≤b≤c≤d≤e,则5a≤a+b+c+d+e=abcde≤5e
即5a≤abcde≤5e于是有　bcde≥5 ① ,且abcd≤5 ②,
考虑以下几种情形：
⑴d=5,则a=b=c=1,e=5与②矛盾
⑵d=4,由②则a=b=c=1,代入a+b+c+d+e=abcde中得e=7/3与已知e为自然数矛盾；
⑶d=3,由②则a=b=c=1,代入a+b+c+d+e=abcde中得e=3符合题意；
⑷d=2,则a＝b＝c=1,代入a+b+c+d+e=abcde中得e=5符合题意；
⑸d=2,则a＝b＝1,c=2,代入a+b+c+d+e=abcde中得e=1.5,不符合题意；
⑹d=1,则a＝b＝c＝d＝1,代入a+b+c+d+e=abcde中得4=0,不符合题意
综上所述,e的最大值是5