在中三角形ABC,三个内角A,B,C及其a,b,c对边a,b,c满足(sin(A-B))/(sin(A+B))=1）求角A的大小；（2）若a=6,求△ABC的面积的最大值.(sin(A-B))/(sin(A+B))=（b+c)/c

Question

在 中三角形ABC,三个内角A,B,C 及其a,b,c对边a,b,c 满足( sin(A-B))/(sin(A+B))=1）求角A的大小； （2）若a=6,求△ABC的面积的最大值.
( sin(A-B))/(sin(A+B))=（b+c)/c

Answer 1

(1)∵[sin(A-B)]/[sin(A+B)]=（b+c)/c=b/c+1=sinB/sinC+1
∴sin(A-B)=sinB*[sin(A+B)]/sinC+sin(A+B)=sinB*sinC/sinC+sin(A+B)=sinB+sin(A+B)
∴sinB=sin(A-B)-sin(A+B)=(sinAcosB-cosAsinB)-(sinAcosB+cosAsinB)=-2cosAsinB.
∵在△ABC中,B≠0且B≠π
∴sinB≠0.
∴1=-2cosA,解得：A=2π/3.
(2)由(1)及题意知：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=[(b+c)^2-2bc-36]/(2bc)=-1/2
整理并化简得：
bc+36=(b+c)^2≥[2*√(bc)]^2=4bc,则bc≤12.
当且仅当b=c=2*√3时,等号成立.
∴S=bc/2的最大值就是6.