方阵A满足A^2-3A+2E=0.证明：（1）A+E可逆并求其逆矩阵（2）A-2E与A-E中至少有一个不可逆（3）若A为非数量阵,则A-2E不可逆~

Question

方阵A满足A^2-3A+2E=0.证明：（1）A+E可逆并求其逆矩阵（2）A-2E与A-E中至少有一个不可逆（3）若A为
非数量阵,则A-2E不可逆~

Answer 1

(1)因为 A^2-3A+2E=0
所以 (A+E)(A-4E)=2E
所以 A+E可逆,且 (A+E)^-1=(1/2)(A-4E)
(2)因为 A^2-3A+2E=0
所以 (A-2E)(A-E)=0
所以 |A-2E||A-E|=0
所以 |A-2E|=0 或 |A-E|=0
所以 A-2E与A-E中至少有一个不可逆
(3)若A-2E可逆,由 (A-2E)(A-E)=0 得 A=E
即A是数量矩阵.
所以当A不是数量矩阵时,A-2E必不可逆(逆否命题).