关于正交矩阵一定可逆的疑问?给的解释是根据正交矩阵定义,因为有AA‘（A转置）=I,所以根据AA’=I所以A可逆且A逆矩阵=A‘；请问,逆矩阵的定义是AB=BA=I,才把AB互称逆矩阵,以上证明仅仅是有AA

Question

关于正交矩阵一定可逆的疑问?
给的解释是根据正交矩阵定义,因为有AA‘（A转置）=I,所以根据AA’=I所以A可逆且A逆矩阵=A‘；
请问,逆矩阵的定义是AB=BA=I,才把AB互称逆矩阵,以上证明仅仅是有AA’=I,并没有证明A‘A=I,怎么能说A是可逆的呢?

Answer 1

用反证法
假设A不可逆,则|A|=0.
∵A是正交矩阵
∴AA^T=E
两边做行列式运算
左边=|A||A^T|=0.
右边=|E|=1.
等式矛盾,假设错误.
所以A可逆.