已知函数f（x）=（x-k-1）ex．（Ⅰ）当x>0时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2<2k．

Question

已知函数f（x）=（x-k-1）e^x．
（Ⅰ）当x>0时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂<2k．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=（x-k）e^x，x>0．（1分）
（i）当k≤0时，f'（x）>0恒成立，
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；无极值．（3分）
（ii）当k>0时，由f'（x）>0得，x>k；由f'（x）<0得，0∴f（x）的递减区间是（0，k），递増区间是（k，+∞），f（x）的极小值为f（k）=-e^k，无极大值．（5分）
（Ⅱ）由已知f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），
结合（Ⅰ）可知，k>0，f（x）在（-∞，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
又f（k+1）=0，x不妨设x₁2此时x₂>k，2k-x₁>k，
故要证x₁+x₂<2k，只要证2k-x₁>x₂，
只要证f（2k-x₁）>f（x₂），
因f（x₁）=f（x₂），即证f（2k-x₁）>f（x₁）．（8分）
设g（x）=f（2k-x）-f（x）=((-x+k-1)e2k)/(ex) -(x-k-1)ex (x<k)，
g′(x)=((x-k)e2k)/(ex)-(x-k)ex=((x-k)(e2k-e2x ))/(ex)，（9分）
∴当x<k时，g'（x）<0，g（x）在（-∞，k）上单调递减，（10分）
∴x∈（-∞，k）时，g（x）>g（k）=-e^k+e^k=0，（11分）
故当x<k时，f（2k-x）>f（x），即f（2k-x₁）>f（x₁）成立，
∴x₁+x₂<2k．（12分）