设f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上连续，g（x）为偶函数，且f（x）满足条件f（x）+f（-x）=A（A为常数）．证明：∫a−af（x）g（x）dx=A∫a0g（x）dx．

Question

设f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上连续，g（x）为偶函数，且f（x）满足条件f（x）+f（-x）=A（A为常数）．证明：

∫

a −a

f（x）g（x）dx=A

∫

a 0

g（x）dx．

Answer 1

证明：由于

∫

a −a

f(x)g(x)dx＝

∫

0 −a

f(x)g(x)dx+

∫

a 0

f(x)g(x)dx，
令x=t，
有 

∫

0 −a

f(x)g(x)dx=

∫

a 0

f(−t)g(−t)dt=

∫

a 0

f(−t)g(t)dt=

∫

a 0

f(−x)g(x)dx．
所以 

∫

a −a

f(x)g(x)dx＝

∫

a 0

[f(x)+f(−x)]g(x)dx＝A

∫

a 0

g(x)dx．
所以得证．