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设f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上连续，g（x）为偶函数，且f（x）满足条件f（x）+f（-x）=A（A为常数）．证明：∫a−af（x）g（x）dx=A∫a0g（x）dx．
题目详情
设f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上连续，g（x）为偶函数，且f（x）满足条件f（x）+f（-x）=A（A为常数）．证明：
f（x）g（x）dx=A
g（x）dx．
| ∫ | a −a |
| ∫ | a 0 |
▼优质解答
答案和解析
证明：由于
f(x)g(x)dx＝
f(x)g(x)dx+
f(x)g(x)dx，
令x=t，
有
f(x)g(x)dx=
f(−t)g(−t)dt=
f(−t)g(t)dt=
f(−x)g(x)dx．
所以
f(x)g(x)dx＝
[f(x)+f(−x)]g(x)dx＝A
g(x)dx．
所以得证．
| ∫ | a −a |
| ∫ | 0 −a |
| ∫ | a 0 |
令x=t，
有
| ∫ | 0 −a |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a 0 |
所以
| ∫ | a −a |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a 0 |
所以得证．
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