设函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，且f（a）=g（b）=0，g′（x）<0，试证明存在ξ∈（a，b）使f′(ξ)g′(ξ)+∫ξaf(t)dt∫bξg(t)dt=0．

Question

设函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，且f（a）=g（b）=0，g′（x）<0，试证明存在ξ∈（a，b）使(f′(ξ))/(g′(ξ))+(∫ξaf(t)dt)/(∫bξg(t)dt)=0．

Answer 1

证明：作辅助函数ϕ(x)=f(x)

∫

b  x

g(t)dt+g(x)

∫

x  a

f(t)dt，显然函数ϕ（x）在区间[a，b]上连续，函数ϕ（x）在区间（a，b）内可导，且ϕ′(x)=[f′(x)

∫

b  x

g(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g′(x)

∫

x  a

f(t)dt]=f′(x)

∫

b  x

g(t)dt+g′(x)

∫

x  a

f(t)dt
另外又有ϕ（a）=ϕ（b）=0．
所以根据罗尔定理可知存在ξ∈（a，b）使ϕ'（ξ）=0，即f′(ξ)

∫

b  ξ

g(t)dt+g′(ξ)

∫

ξ  a

f(t)dt=0，
由于g（b）=0及g'（x）<0，所以区间（a，b）内必有g（x）>0，从而就有有

∫

b  x

g(t)dt>0，于是有(f′(ξ))/(g′(ξ))+(∫ξaf(t)dt)/(∫bξg(t)dt)=0．