可积与原函数存在的关系!在做李的400题最后2套题的时候发现一个问题没有办法搞清楚,1由g(x)在[2,3]上有界除1外连续→g(x)在闭区间上可积→g(x)在闭区间上的积分连续2由g(x)在[0,2]上可积,再

Question

可积与原函数存在的关系!
在做李的400题最后2套题的时候发现一个问题没有办法搞清楚,1 由g(x)在[2,3]上有界除1外连续→g(x)在闭区间上可积→g(x)在闭区间上的积分连续2 由g(x)在[0,2]上可积,再由基本定理→g(x)的原函数在闭区间上连续我的理解是若g(x)在闭区间可积那么g(x)的原函数在闭区间上就连续?原函数存在的条件不是充分条件么?手机发贴等解答,不甚感激!

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回复leleluke 的帖子原函数存在的判断：1.连续函数一定存在原函数2.有第一类间断点（可去和跳跃）一定没有原函数3.有第二类间断点的函数可能有原函数,此时需要对给出的函数进行判断,用定义就出其导数,若结果跟另外一个函数一样,则说明它是另外一个函数的原函数.而函数可积分的判断是：1.连续函数必可积分2.有界且有有限个间断点的函数必可积分综上：函数的可积与有无原函数只是在函数连续时是一致的,其余没有必然联系.这个概念很重要,要清晰,同时要联系变上限积分的两条重要性质：1.被积分函数可积则变上限积分函数连续2.被积函数连续,则变上限积分函数才可导,才能表示一个函数的原函数.最好能掌握以上两个性质的证明,证明过程400题后面的重要概念定理证明里面有详细过程.除此以外,要联想到牛顿-莱布尼茨定理的应用条件和推论：被积函数要连续的定积分才用平时的定积分原函数解法（即牛顿莱布尼茨定理）,其中的两条推论是将闭区间改为开区间时也可以应用.所以当你面对一个给定区间上的积分的时候,需要先判断被积分函数在给定区间连续否,就是说先要判断这个积分是定积分还是反常积分,定积分就用一般的换元、分部等方法解决,若是反常积分则一定要弄清楚反常积分是无穷区间上的还是被积函数是无界函数的类型或者是二者的混合型,用反常积分的方法进行求解（一般是找对瑕点,需分段的分段,然后用不定积分加极限的方法求解,此间要掌握反常积分的分部法和换元法的使用条件,这部分类容李永乐的全书由很好的讲解和例题,需好好看,理解透彻）.反常积分和定积分将是今年的出题重点,大纲明确要求的会的级别.以上基本已经涵盖了定积分这章的主要考点.如果看书不深入,理解不透彻,甚至会忽略全书中一些看似不起眼的性质定理的理解,就会出现做题时像楼主的这种概念模糊问题.最后这几十天要好好补补 查看原帖>>