定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.(1)求f(0),f(4)的值.(2)求证:f(x)为奇函数

Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.(1)求f(0),f(4)的值.(2)求证:f(x)为奇函数

Answer 1

(1)
∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.
∴f(1+0)=f(1)+f(0)
f(1)=f(1)+f(0)
∴f(0)=0
∵f(1+1)=f(1)+f(1)
∴f(2)=f(1)+f(1)
=1+1
=2
∵f(2+2)=f(2)+f(2)
∴f(4)=f(2)+f(2)
=2+2
=4
(1)∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.
∴定义域关于原点对称,
设y=-x
则f(x-x)=f(x)+f(-x)
即f(0)=f(x)+f(-x)
∵f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数