设a1,a2,.,an是线性空间V的一组基,q是V的线性变换,证明:q可逆当且仅当q(a1),

Question

设a1,a2,.,an是线性空间V的一组基,q是V的线性变换,证明:q可逆当且仅当q(a1),

Answer 1

设a1,a2,.,an是线性空间V的一组基,q是V的线性变换,
令k1q(a1)+k2q(a2),+.,+knq(an)=0
因为q是V的线性变换,则
q(k1a1+k2a2+.+knan)=0
若q可逆,则q一定是一一对应,而q(0)=0
从而k1a1+k2a2+.+knan=0
由a1,a2,.,an线性无关,知道k1=k2=.=kn=0
故q(a1),q(a2),.,q(an)线性无关,从而也是是线性空间V的一组基.
反之,q(a1),q(a2),.,q(an)也是线性空间V的一组基.
则对任意的a属于V,可设
a=k1q(a1)+k2q(a2),+.,+knq(an)=q(k1a1+k2a2+.+knan)
可见a在q下有原像k1a1+k2a2+.+knan,故q是满射,
又则对任意的a,b属于V,
设a=x1a1+x2a2+.+xnan b=y1a1+y2a2+...+ynan
则q(a)=q(x1a1+x2a2+.+xnan)=x1q(a1)+x2q(a2),+.,+xnq(an)
q(b)=q(y1a1+y2a2+.+ynan)=y1q(a1)+y2q(a2),+.,+ynq(an)
若q(a)=q(b)
则(x1-y1)q(a1)+(x2-y2)q(a2),+.,+(x2-yn)q(an)=0
由q(a1),q(a2),.,q(an)线性无关,得x1=y1,x2=y2,...,xn=yn
即a=b
所以q为单射.
q既是单射,又是满射,从而是双射.
所以q可逆.（注：q可逆当且仅当q为双射）.