已知点（1,1/3)是函数f（x)=a^x图像上一点已知点（1,1／3)是函数f(x)=a^x(a＞0且a≠1)的图像上一点,等比数列｛an｝的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn＞0）的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=√Sn+√Sn-1(n≥2)1

Question

已知点（1,1/3)是函数f（x)=a^x图像上一点
已知点（1,1／3)是函数f(x)=a^x(a＞0且a≠1)的图像上一点,等比数列｛an｝的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn＞0）的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=√Sn+√Sn-1(n≥2)
1)求数列{an}和{bn}的通项公式
2）若数列｛1／bnbn+1}前n项和为Tn,问Tn＞1000／2009的最小正整数n是多少
由题意得
1）a=1/3,an=fn-c-（f（n-1）-c）
=fn-f（n-1）
=-2/3*（1／3）^（n-1）如何推出这一步?
∴bn=Sn-Sn-1=2n-1
2）bn代入得1/bnbn+1=1/(2n-1)（2n+1)=1/2(1/2n-1-1/2n+1)====如何推出?
∴Tn=1/2（1-1/2n+1)=n/2n+1＞1000/2009
解得n＞1000/9
∴n的最小值为112.

Answer 1

1、
1/3=a^1
所以a=1/3
所以等比数列an的前n项和Un为(1/3)^n-c
所以U(n-1)=(1/3)^(n-1)-c
所以an=(1/3)^n-(1/3)^(n-1)
=(1/3)*(1/3)^(n-1)-(1/3)^(n-1)
=-(2/3)*(1/3)^(n-1)
a1=-2/3=S1=(1/3)-c
所以c=1
bn
Sn-S（n-1）=√Sn+√S(n-1)
[√Sn-√S(n-1)][√Sn+√S(n-1)]=√Sn+√S(n-1)
√Sn+√S(n-1)=0或√Sn-√S(n-1)=1
若√Sn+√S(n-1)=0,则Sn=0,S(n-1)=0
则S1=b1=0
这和b1=c=1矛盾
所以√Sn-√S(n-1)=1
所以√Sn是等差数列,d=1
S1=b1=c=1
所以√S1=1
所以√Sn=√S1+1*(n-1)=n
Sn=n^2
S(n-1)=(n-1)^2=n^2-2n+1
所以bn=Sn-S(n-1)=2n-1
即an=-(2/3)*(1/3)^(n-1)
bn=2n-1
2、
1/bnb(n+1)=1/(2n-1)(2n+1)=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以Tn=1/2*(1-1/3)+1/2*(1/3-1/5)+……+1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)>1000/2009
2n+1>0
所以2009n>1000(2n+1)
2009n>2000n+1000
n>1000/9=111+1/9
所以n最小=112