一个不等式证明已知n∈N+,求证：(2n+1)^n≥(2n)^n+(2n-1)^n下面是我的证明,加强命题：已知p≤n,求证：(2p+1)^n≥(2p)^n+(2p-1)^n①对n用归纳法n=1时显然成立(2p+1)^(n+1)=(2p+1)^n*(2p+1)≥[(2p)^n+(2p-1)^n]*(2p+1)＞(

Question

一个不等式证明
已知n∈N+,求证：(2n+1)^n≥(2n)^n+(2n-1)^n
下面是我的证明,
加强命题：已知p≤n,求证：(2p+1)^n≥(2p)^n+(2p-1)^n ①
对n用归纳法
n=1时显然成立
(2p+1)^(n+1)=(2p+1)^n*(2p+1)
≥[(2p)^n+(2p-1)^n]*(2p+1)
＞(2p)^(n+1)+(2p-1)^(n+1)
成立,所以命题①成立
令p=n,原不等式得证
请问这样归纳是否合理

Answer 1

是不合理的.
前面都没有问题,关键是你的归纳法并没有证明出来p≤n时 ①成立.
来仔细分析一下,你的归纳法中,（你写得不大规范,我给你改成了严格一点的形式来分析错误）你假设当n=k时,对于p≤k,①成立,来证明n=k+1时,对于p≤k+1,(2p+1)^(k+1)≥(2p)^(k+1)+(2p-1)^(k+1)成立.但是你的证明中只证出来了对于p≤k时,(2p+1)^(k+1)≥(2p)^(k+1)+(2p-1)^(k+1)成立（因为你利用了假设条件,而假设条件仅限于当p≤k时成立）,而当p=k+1时式子是否成立根本没有给出证明.
后面你又说令p=n,明显错误.相当于根本没有证明.