数列题证明已知：f(x)=-√(4+1/x^2),数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1/a(n+1))在曲线y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0求证：(√是根号,a(n+1)中n+1是下标,Sn>√(4n+1)/2-1中2在根号外面,-1在分式外面)另外,我已

Question

数列题 证明
已知：f(x)=-√(4 + 1/x^2),数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1/a(n+1))在曲线y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0
求证：
(√是根号,a(n+1)中n+1是下标,Sn > √(4n+1)/2 -1中2在根号外面,-1在分式外面)
另外,我已经求出an=1/√(4n-3),如果觉得这个没问题的话,求an的过程就不用打了.
求证：Sn > √(4n+1)/2 -1

Answer 1

这个题你求的an=1/√(4n-3)是对的,看来你的数学功底非常好.
求证Sn > √(4n+1)/2 -1可用数学归纳法.
易得n=1时成立
假设n=k时成立,即Sk > √(4k+1)/2 -1
于是n=k+1时
Sk+1
=Sk+ak
>√(4k+1)/2 -1+ak
=√(4k+1)/2 -1+1/√(4k-3) (加一项减一项√(4k+5)/2）
=√(4k+1)/2 -√(4k+5)/2 +√(4k+5)/2 +1/√(4k-3)-1（前两项有理化
=-2/(√(4k+1) +√(4k+5))+1/√(4k-3)+√(4k+5)/2 -1
>√(4k+5)/2 -1
也成立
（因为-2/(√(4k+1) +√(4k+5))+1/√(4k-3)
=-2/(√(4k+1) +√(4k+5))+2/(√(4k-3)+√(4k-3))
>0）
所以由归纳法可得成立
这个题从正面去求解不好做.希望我解答的你明白.