正项数列{an}中，a1=4，其前n项和Sn满足：Sn2-（an+1+n-1）Sn-（an+1+n）=0．（Ⅰ）求an与Sn；（Ⅱ）令bn=2n−1+1(3n−2)an，数列{bn2}的前n项和为Tn．证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜512．

Question

正项数列{a_n}中，a₁=4，其前n项和S_n满足：S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0．
（Ⅰ）求a_n与S_n；
（Ⅱ）令b_n=(2n−1+1)/((3n−2)an)，数列{b_n²}的前n项和为T_n．证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜(5)/(12)．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）∵S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0，
∴[S_n-（a_n+1+n）]（S_n+1）=0．
∵{a_n}是正项数列，∴S_n＞0，S_n=a_n+1+n．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1+n-a_n-（n-1）．
∴a_n+1=2a_n-1，a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2），…（4分）
又∵a₁=S₁=a₂+1，a₁=4，∴a₂=3，
∴an−1＝(a2−1)•2n−2，
∴a_n=2^n-1+1，n≥2，
综上，数列{a_n}的通项an＝

4，n＝1

2n−1+1，n≥2

．
当n=1时，S_n=4；
当n≥2时，S_n=4+（2+2²+2³+…+2^n-1）+n-1
=4+(2(1−2n−1))/(1−2)+n-1
=2ⁿ+n+1，
当n=1时也成立，
∴S_n=2ⁿ+n+1．…（7分）
（Ⅱ）证明：∵an＝

4，n＝1

2n−1+1，n≥2

，b_n=(2n−1+1)/((3n−2)an)，
∴b1＝(1)/(2)，b_n=(1)/(3n−2)，（n≥2），…（9分）
则当k≥2时，有bk2=(1)/((3k−2)2)＜(1)/((3k−4)(3k−1))=

作业帮用户 2017-09-26