试利用闭区间套定理证明数列{an}收敛的充要条件是：对任意的ε＞0，存在N＞0，使得当m，n＞N时，|am-an|＜ε．

Question

试利用闭区间套定理证明数列{a_n}收敛的充要条件是：对任意的ε＞0，存在N＞0，使得当m，n＞N时，|a_m-a_n|＜ε．

Answer 1

证明：必要性．设

lim

n→∞

an＝a，则
∀ɛ＞0，∃N＞0，∀n＞N，有
|an−a|＜(ɛ)/(2)
同样，当m＞N时，也有
|am−a|＜(ɛ)/(2)
∴当m，n＞N时，|a_m-a_n|=|（a_m-a）-（a_n-a）|
≤|a_m-a|+|a_n-a|＜(ɛ)/(2)+(ɛ)/(2)＝ɛ
充分性．假设对任意的ε＞0，存在N＞0，使得当m，n＞N时，|a_m-a_n|＜ε
∀ɛ＞0，∃N=m＞0，∀n≥N，有|a_m-a_n|≤ε
即在区间[a_N-ɛ，a_N+ɛ]中含有数列{a_n}的几乎所有项
令ɛ＝(1)/(2)，则∃N₁＞0，在区间[aN1−(1)/(2)，aN1+(1)/(2)]中含有数列{a_n}的几乎所有项，记此区间为[a₁，b₁]
再令ɛ＝(1)/(22)，则∃N₁（＞N₁），在区间[aN1−(1)/(22)，aN1+(1)/(22)]中含有数列{a_n}的几乎所有项，记此区间为
[a₂，b₂]=[aN1−(1)/(22)，aN1+(1)/(22)]∩[a₁，b₁]，也含有数列{a_n}的几乎所有项，且满足[a₂，b₂]⊃[a₁，b₁]，以及b2−a2≤(1)/(2)
如此继续下去，令ɛ＝(1)/(23)、(1)/(24)、…、(1)/(2n)，就会得到一闭区间列{[a_n，b_n]}，其中每个区间含有数列{a_n}的几乎所有项，且满足
[a_n，b_n]⊃[a_n+1，b_n+1]，n=1，2，…
bn−an≤(1)/(相关问答求证1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n1／n(n-1)怎么裂项已知an=1/[n*(n+1)],求Sn2+2^2+2^3+……+2^n=?好的有加分,只(n-1)n(n+1)分之一怎么裂项?（1+3的n次方）再开n次方的极限n趋于无穷（1+(n+(-1)^n)/(n^2-1)证明为无穷小量lim（n→∞）（根号下（n+3√n）-根号下（n数列｛an}中,an=n*2^n,求Sn?∑(n^2)/(e^n)的收敛性lim(1+2/n)^n的值,当n→∞时lim(2^n/n)的值,当n→∞时RT我还没学什首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)