1.试证：矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于02.设A、B都是n阶矩阵,试证AB=0,那么r（A）+r（B）≤n

Question

1.试证：矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0
2.设A、B都是n阶矩阵,试证AB=0,那么r（A）+ r（B）≤n

Answer 1

1.
先证必要性：即左推右
如果矩阵A可逆,我们假设A有特征值0,那么根据求特征值的定义有
Ax = 0*x = 0 ,而且其中x为非0向量,所以这就说明Ax=0有非零解,从而推出A不满秩,从而推出A不可逆,与已知矛盾,所以A的特征值不等于0.
再证充分性：即右推左
如果A的特征值不等于0,那么可以设特征值分别为λ1,λ2,……,λn
根据 |A| = λ1*λ2*……*λn 不等于0,说明A行列式不等于0 ,所以A可逆
所以矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0
证毕
2.
证明：Ax=0 设其解空间为S,那么根据线性方程组的性质,有
秩A + 秩S = n
由已知,AB=0,所以知道B为解空间里的一个一组向量,所以有秩B≤秩S
所以得到
秩B≤n-秩A
所以得到
秩A+秩B≤n
证毕