设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲

Question

设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．
已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

Answer 1

∵曲边梯形的面积为：S＝

∫

t 1

f(x)dx，
旋转体的体积为：V＝π

∫

t 1

f2(x)dx，
则由题可知：V=πtS，
即：π

∫

t 1

f2(x)dx＝πt

∫

t 1

f(x)dx，
化简为：

∫

t 1

f2(x)dx＝t

∫

t 1

f(x)dx，
上式两边对t同时求导，得：
f2(t)＝

∫

t 1

f(x)dx+tf(t)，①，
①式两边继续求导，得：
2f（t）f′（t）=f（t）+tf′（t）+f（t），
化简可得
（2f（t）-t）f′（t）=2f（t）
而：y=f（t）
继续化简得：
(dt)/(dy)+(1)/(2y)t＝1，
这是一阶线性微分方程，其中：P(y)＝(1)/(2y)，Q(y)＝1，
解之得：t＝c•y−(1)/(2)+(2)/(3)y，其中C为待定常数
在①式中令t=1，则：f²（1）=0+f（1），
而f（x）＞0，
∴f（1）=1
代入t＝cy−(1)/(2)+(2)/(3)y，得：c＝(1)/(3)，
∴t＝(1)/(3)((1)/(√(y))+2y)，
所以该曲线方程为：2y+(1)/(√(y))−3x＝0．