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常微分方程：xyy''+xy²-yy'=0,求y.
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常微分方程：xyy''+xy²-yy'=0,求y.
▼优质解答
答案和解析
设y=xt,则t=y/x,y'=xt'+t
代入原方程得xt'+t+t=1/t
==>xt'=(1-2t2)/t
==>tdt/(1-2t2)=dx/x
==>d(1-2t2)/(1-2t2)=-4dx/x
==>ln│1-2t2│=-4ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>1-2t2=C/x^4
==>(1-2(y/x)2)x^4=C
==>x2(x2-2y2)=C
故原微分方程的通解是x2(x2-2y2)=C (C是积分常数)
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代入原方程得xt'+t+t=1/t
==>xt'=(1-2t2)/t
==>tdt/(1-2t2)=dx/x
==>d(1-2t2)/(1-2t2)=-4dx/x
==>ln│1-2t2│=-4ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>1-2t2=C/x^4
==>(1-2(y/x)2)x^4=C
==>x2(x2-2y2)=C
故原微分方程的通解是x2(x2-2y2)=C (C是积分常数)
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