高数--微分方程已知某曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程.yy''+(y')^2=1.并且与另一曲线y=e^-x相切于点(0,1),求曲线的方程

Question

高数--微分方程
已知某曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程.yy''+(y')^2=1.并且与另一曲线y=e^-x相切于点(0,1),求曲线的方程

Answer 1

对于简单的熟悉的微分方程,可以灵活求
由 yy''+(y')^2=(yy')'=1 可得yy'=x+C1 （*）
又该曲线与另一曲线y=e^-x相切于点(0,1),有y(0)=1 y'(0)=-1
代入（*）得 ：-1=C1
所以,有：yy'=x-1
即 ydy=(x-1)dx
两边同时积分：(1/2)y^2=(1/2)x^2-x+C2
y^2=x^2-2x+2C2
y=√(x^2-2x+2C2) 【y=-√(x^2-2x+2C2)舍去,因为y(0)=1】
1=√(2C2)
C2=1/2
所以 y=√(x^2-2x+2C2)=√(x^2-2x+1)=|x-1|=1-x 【y=x-1舍去,因为y'(0)=-1】
故曲线的方程是 x+y-1=0
令一种就是常规解法了.yy''+(y')^2=1 （缺x型）
令 y'=P(y),y''= P(dP/dy) 代入求解即可!