一道微分方程的题求微分方程yy''=2(y'²-y')满足条件y(0)=1,y'(0)=2的特解这是一道可降阶的高阶方程,且是y''=f(y,y')型所以,原方程为：yp(dp/dy)=2p(p-1)分离变量：dp/(p-1)=2/ydy两边积分：ln(p-1)=2lny+c

Question

一道微分方程的题
求微分方程 yy''=2(y'²-y')满足条件 y(0)=1,y'(0)=2的特解
这是一道可降阶的高阶方程,且是 y''=f(y,y')型
所以,原方程为：yp(dp/dy)=2p(p-1)
分离变量：dp/(p-1)=2/ydy
两边积分：ln(p-1)=2lny+c1
第一个疑问：
等式左边没有取绝对值,因为y'(0)=2
那么由于y''存在,所以y'连续
这个怎么证明呢
第二个疑问：
接上：可知 因为y'(0)=2
说明在零点的一个小邻域内,p接近2,也就是说p＞1
首先我觉得p接近2,也不能说p＞1吧
而且
就算“在零点的一个小邻域内,也就是说p＞1”
跟去绝对值号有啥关系呢?
又不是只在0点附近积分?
第三个疑问,同第二个类似
等式右边：2lny+c1
说是因为y' 存在,所以y连续,所以y在接近0的附近趋于1
所以y＞0
即不带绝对值符号

Answer 1

第一个疑问：
y'是一个函数,y''是它的导数
一个函数的导数存在,那么它一定连续
（这就是我们常说的由可导可以推出连续,由连续不能推出可导）
证明：设一个函数f(x),它的导数f'(x)存在
因为lim(△x→0)△y=lim(△x→0)(△y/△x)△x=f'(x)lim(△x→0)△x=0
所以由可导可以推出连续
第二个疑问：
微分方程通解的定义是：
如果含有n个独立的任意常数C1,C2,…,Cn的函数y=f(x,C1,C2,…,Cn)是方程
F(x,y,y',y'',…,y^(n))=0的解,则这样的解称为微分方程的通解
就是说通解只需要满足两个条件：
①含有阶数个常数
②是微分方程的解
那么就是说通解不需要是全部解,只要含有那么多常数,并且是微分方程的解就行了
所以只求出p>1这种情况的解也是微分方程的通解
第三个疑问：与第二个一样,只需要求出y>0的情况就可以了