早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根.(1)求m的值;(2)若E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的

题目详情
如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根.

(1)求m的值;
(2)若E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的面积的
1
3
,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)已知AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根,根据根与系数的关系得到:
∴AB+BC=2m-2,AB•BC=6m,
∴AB2+BC2=(2m-2)2-2AB•BC=4m2-20m+4,
而AB2+BC2=AC2=102
∴4m2-20m+4=102
整理得:m2-5m-24=0,
解得:m=8或m=-3(不合题意,舍去);
(2)∵AB∥DC,
∴∠AED=∠FDC,
又∵∠EAD=∠DFC=90°,
∴△EAD∽△DFC
AE
FD
=
DE
CD

又DE=3EF,
∴DE:DF=3:2,
∴DF=
2
3
DE,
可得AE=
DF•DE
CD
=
2DE2
3CD

将m=8代入方程x2+2(1-m)x+6m=0
∴x2+2(1-8)x+6×8=0
∴x2-14x+48=0,
解得:x=6或8,
即AB=CD=8,AD=BC=6,
设AE=y,根据勾股定理得:DE2=AD2+AE2=36+y2
∴y=
2DE2
3CD
=
2
3
×
36+y2
8

即y2-12y+36=0,
解得y=6,
故BE=2.
即BE=2时△CEF的面积是△CED的面积的
1
3