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如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根.(1)求m的值;(2)若E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的
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如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根.

(1)求m的值;
(2)若E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的面积的
,请说明理由.

(1)求m的值;
(2)若E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的面积的
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▼优质解答
答案和解析
(1)已知AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根,根据根与系数的关系得到:
∴AB+BC=2m-2,AB•BC=6m,
∴AB2+BC2=(2m-2)2-2AB•BC=4m2-20m+4,
而AB2+BC2=AC2=102,
∴4m2-20m+4=102,
整理得:m2-5m-24=0,
解得:m=8或m=-3(不合题意,舍去);
(2)∵AB∥DC,
∴∠AED=∠FDC,
又∵∠EAD=∠DFC=90°,
∴△EAD∽△DFC
∴
=
,
又DE=3EF,
∴DE:DF=3:2,
∴DF=
DE,
可得AE=
=
,
将m=8代入方程x2+2(1-m)x+6m=0
∴x2+2(1-8)x+6×8=0
∴x2-14x+48=0,
解得:x=6或8,
即AB=CD=8,AD=BC=6,
设AE=y,根据勾股定理得:DE2=AD2+AE2=36+y2,
∴y=
=
×
,
即y2-12y+36=0,
解得y=6,
故BE=2.
即BE=2时△CEF的面积是△CED的面积的
.
∴AB+BC=2m-2,AB•BC=6m,
∴AB2+BC2=(2m-2)2-2AB•BC=4m2-20m+4,
而AB2+BC2=AC2=102,
∴4m2-20m+4=102,
整理得:m2-5m-24=0,
解得:m=8或m=-3(不合题意,舍去);
(2)∵AB∥DC,
∴∠AED=∠FDC,
又∵∠EAD=∠DFC=90°,
∴△EAD∽△DFC
∴
AE |
FD |
DE |
CD |
又DE=3EF,
∴DE:DF=3:2,
∴DF=
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3 |
可得AE=
DF•DE |
CD |
2DE2 |
3CD |
将m=8代入方程x2+2(1-m)x+6m=0
∴x2+2(1-8)x+6×8=0
∴x2-14x+48=0,
解得:x=6或8,
即AB=CD=8,AD=BC=6,
设AE=y,根据勾股定理得:DE2=AD2+AE2=36+y2,
∴y=
2DE2 |
3CD |
2 |
3 |
36+y2 |
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即y2-12y+36=0,
解得y=6,
故BE=2.
即BE=2时△CEF的面积是△CED的面积的
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