已知函数f(x)=(e^x-a)^2;+(e^-x-a)^2;(a≥0)将f(x)表示为u=(e^x+e^-x)÷2的函数g(u)并求出函数g(x)的最小值

Question

已知函数f(x)=(e^x -a)^2;+(e^-x -a)^2; (a≥0)将f(x)表示为u=(e^x +e^-x)÷2的函数g(u)
并求出函数g(x)的最小值

Answer 1

u^2=(e^x +e^-x)^2÷4
=(e^2x+e^-2x+2)÷4
=(e^2x+e^-2x)/4+1/2
f(x)=(e^x -a)^2+(e^-x -a)^2
=e^2x-2ae^x+a^2+e^-2x-2ae^-x+a^2
=e^2x+e^-2x-2a(e^x+e^-x)+2a^2
=4*(u^2-1/2)-2a*2u+2a^2
=4u^2-4au+2a^2-2
=g(u)
g(u)=4u^2-4au+a^2+a^2-2
=(2u-a)^2+a^2-2
所以最小值为a^2-2