设是一个半群,对于任意的a,b属于A,如果a不等于b,必有a*b不等于b*a,求证对于任意的a,b,有a*b*a=a.急呀,帮个忙!

Question

设是一个半群,对于任意的a,b属于A,如果a不等于b,必有a*b不等于b*a,求证对于任意的a,b,有a*b*a=a.
急呀,帮个忙!

Answer 1

这类称为严格非交换.
证明可由a*a=a证明开始,
若a*a=b,b不等于a
那么a*b=a*a*a=b*a不合（半群是有结合律的.）
故a*a=a
进一步利用上面的结论可以证明a*b*a=a,
a*b*a*a=a*b*a=a*a*b*a故a*b*a与a可交换,故a*b*a=a.
再进一步利用上面的结论可以证明a*b*c=a*c
a*b*c*a*c=a*b*c=a*c*a*b*c故a*c和a*b*c可交换.故a*b*c=a*c.
再进一步利用上面的结论a1*a2*...*an=a1*an（证明从略）