线性代数问题1.设A.B均为n阶方阵,若|A+B|不等于0,且AB=BA,则（A-B）（A+B）*=（A+B）*（A-B）2.设A为n阶方阵,且A^k=0（K为正整数）,求证：（I-A）^(-1)=I+A+A^2+……+A…^（k-1）注明：（A+B）*

Question

线性代数问题
1.设A.B均为n阶方阵,若|A+B|不等于0,且AB=BA,则（A-B）【（A+B）*】=【（A+B）*】（A-B）
2.设A为n阶方阵,且A^k=0（K为正整数）,求证：（I-A）^(-1)=I+A+A^2+……+A…^（k-1）
注明：【（A+B）*】表示（A+B）的伴随矩阵,（I-A）^(-1)表示（I-A）的逆矩阵,I就是E,单位矩阵

Answer 1

证：【单位阵全用E表示】
1.
用分析法：
(A-B)[(A+B)*]=[(A+B)*](A-B)
←【∵|A+B|!=0 ,∴A+B可逆】
(A+B)(A-B)[(A+B)*](A+B)=(A+B)[(A+B)*](A-B)(A+B)
←
(A+B)(A-B)[|A+B|E]=[|A+B|E](A-B)(A+B)
←
(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)
←
A^2-AB+BA-B^2=A^2+AB-BA-B^2
←
-AB+BA=AB-BA
←
2AB=2BA
←
AB=BA
故结论成立!
2.
∵A^k=0
∴E-A^k=E【注意E=E^k】
∴E^k-A^k=E【E^k-A^k可以像初等代数一样分解因子】
∴(E-A)[E+A+A^2+……+A^(k-1)]=E
根据矩阵逆的定义知：
(E-A)^(-1)=E+A+A^2+……+A^(k-1)
证毕!