大学高代.f（x）为多项式,用x-1除时余式为3,用x-3时余式为5,则用（x-3）（x-大学高代.f（x）为多项式,用x-1除时余式为3,用x-3时余式为5,则用（x-3）（x-1）除时余式是多少

Question

大学高代.f（x）为多项式,用x-1除时余式为3,用x-3时余式为5,则用（x-3）（x-
大学高代.
f（x）为多项式,用x-1除时余式为3,用x-3时余式为5,则用（x-3）（x-1）除时余式是多少

Answer 1

这个用多项式乘法来做吧.
由已知：
f(x)=(x-1)p(x)+3、f(x)=(x-3)q(x)+5
容易判断,p(x)与q(x)的次数相同.
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若p(x)的次数为0次,那么q(x)的次数也为0次,
此时设它们为p、q
于是
p(x-1)+3=q(x-3)+5
px+3-p=qx+5-3q
于是
p=q
3-p=5-3q
从而p=q=1即可满足条件.
此时f(x)=x+2
于是,f(x)÷[(x-1)(x-3)]的余式即为x+2
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假若p(x)的次数＞0,它÷(x-3)的余式一定为0次,
于是可设p(x)=(x-3)m(x)+a
同理可设q(x)=(x-1)n(x)+b
于是
(x-1)[(x-3)m(x)+a]+3=(x-3)[(x-1)n(x)+b]+5
于是
(x-1)(x-3)m(x)+a(x-1)+3=(x-3)(x-1)n(x)+b(x-3)+5
(x-1)(x-3)m(x)+ax-a+3=(x-3)(x-1)n(x)+bx-3b+5
于是由次数定理即可知,
m(x)=n(x)
a=b
3-a=5-3b
于是a=b=1
从而
f(x)=(x-1)(x-3)m(x)+x+2
于是,f(x)÷[(x-1)(x-3)]的余式即为x+2
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实际上,可以不考虑p(x)的次数为0次还是＞0次,无所谓的,
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