设多项式f(x)除以x-1余式为2,除以x^2-2x+3余式为4x+6,则除以(x-1)(x^2-2x+3)余式为多少?设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6,这个设是怎么得来的?特别是“a(x^2-2x+3)+4x+6"这个怎么来的?

Question

设多项式f(x)除以x-1余式为2,除以x^2-2x+3余式为4x+6,则除以(x-1)(x^2-2x+3)余式为多少?
设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6,这个设是怎么得来的?特别是“a(x^2-2x+3)+4x+6"这个怎么来的?

Answer 1

首先g(x)=(x-1)(x²-2x+3)是一个三次多项式,所以f(x)一定可以写成Q(x)*g(x)+r(x),其中r(x)是不超过2次的多项式,也就是f(x)/g(x)的余式.
接下去再把r(x)写成(x²-2x+3)*q(x)+s(x)的形式,注意r(x)和x²-2x+3都是2次的,即q(x)=a,s(x)不超过一次,这样f(x)=(x-1)(x²-2x+3)*Q(x)+a(x²-2x+3)+s(x)
再由条件得到s(x)=4x+6.
这就是那样假设的理由,其实是很显然的,所以就不一定要按上面那样仔细解释.