设用x一1除f(x)余数为5,用x十1除f(x)余数为7,则用x2一1除f(x)余式是多少?

Question

设用x一1除f(x)余数为5,用x十1除f(x)余数为7,则用x2一1除f(x)余式是多少?

Answer 1

这儿要用到很浅的同余知识,看不明白请追问!
由题意：
f(x)=(x-1)g(x)+5=(x+1)h(x)+7 ①
于是
(x-1)g(x)+5≡(x+1)h(x)+7 （mod(x-1)）
(x-1)g(x)+5≡(x-1)h(x)+2h(x)+7 （mod(x-1)）
0≡2h(x)+2 （mod(x-1)）
于是
2h(x)+2=(x-1)p(x) ②
将②代入①：
f(x)=(x+1)h(x)+7
=(x+1)（(x-1)p(x) ÷2-1）+7
=(x^2-1)p(x) ÷2-x-1+7
=(x^2-1)p(x) ÷2+(-x+6)
于是,余式就是【-x+6】
注意：代数式的余式与整数的余数有些不一样,整数余数要求整除,而代数式的余式允许“÷2”出现,不管代数式的系数是否能被这个2整除!