求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．

Question

求函数u=x²+y²+z²在约束条件z=x²+y²和x+y+z=4下的最大值与最小值．

Answer 1

【方法一】
作拉格朗日函数F（x，y，z，λ，μ）=x²+y²+z²+λ（x²+y²-z）+μ（x+y+z-4）．
首先，求解其驻点．
令

F′x＝2x+2λx+μ＝0

F′y＝2y+2λy+μ＝0

F′z＝2z−λ+μ＝0

F′λ＝x2+y2−z＝0

F′μ＝x+y+z−4＝0

，
求解方程组可得，（x₁，y₁，z₁）=（1，1，2），（x₂，y₂，z₂）=（-2，-2，8）．
因为 u（x₁，y₁，z₁）=6，u（x₂，y₂，z₂）=72，
故所求的最大值为72，最小值为6．
【方法二】注意到约束条件　x+y+z=4，即 z=4-（x+y），故可将原问题转化为：
求函数 u=x²+y²+x⁴+2x²y²+y⁴ 在约束条件 x+y+x²+y²=4下的最值．
设 F（x，y，λ）=x²+y²+x⁴+2x²y²+y⁴ +λ（x+y+x²+y²-4），
令 

F′x＝4x3+4xy2+2x+λ(1+2x)＝0

F′y＝4y3+4x2y+2y+λ(1+2y)＝0

F′z＝x+y+x2+y2−4＝0

，
解得，（x₁，y₁）=（1，1），（x₂，y₂）=（-2，-2），
代入 z=x²+y²，得 z₁，=2，z₂ =8．
因为 u（x₁，y₁，z₁）=6，u（x₂，y₂，z₂）=72，
故所求的最大值为72，最小值为6．